質數: 一個正整數 N, 除了1與N沒有其他的因數, N即為質數
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質數類型: 依據歐拉定理, 質數個數是無限多個, 也是無限大, 所以就將質數分類成許多一定規則的類型,
例如: 多項式 f(a) = a^2+a+41, a= [0,40], f(a) 都是質數, 數學家一直都在找尋表達更多質數的多項式
以下列出我感興趣且已寫過計算程式的類型 (這些類型, 也在 GIMPS 網站上列出發現序列與最新結果):
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1. 梅森質數 (Mersenne Primes)
定義梅森數: M(p) = 2^p - 1 , p 為質數, 若 M(p) 是質數, 則稱為梅森質數, 這是以17世紀法國數學家馬蘭.梅森(Marin Mersenne)之名命名, 目前已知最新幾個質數皆是由 GIMPS 所屬發現的, 最大的 M(82589933) 有 24852048 位數, 每每發現就是刷新最大質數的紀錄, 也是基底為2的 Repunit 質數, 已知只有質數個1 (2進位)的數字才可能是質數, 到目前為止, GIMPS 已經找到 16 個梅森質數, 位數也是越來越大, 期待第53個梅森質數的出現, 日後我會列出梅森質數的總列表, 以及梅森數的分解質因數表
[2024/10/27] 最新消息:
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2. 費馬質數 (Fermat Primes)
定義費馬數: F(n) = 2^(2^n) +1, n >= 0 的整數, 若 F(n) 是質數, 則稱為費馬質數, 這是以17世紀法國數學家皮埃爾.費馬(Pierre de Fermat)之名命名, 目前發現 n = [0,4], F(n) 皆為質數, 其他 n 有很多已經都已證明為合數, 有些已被全部分解或部分分解, 由於 n 越大, F(n) 的增長更快, 分解費馬數的因子有 Proth 質數型態 (即 k.2^(n+2)+1), 日後我會列出梅森質數的總列表, 以及梅森數的分解質因數表
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3. 階乘質數 (Factorial Primes)
定義階乘數: F(n)= n! ± 1, n >= 0 的整數, 若 F(n) 是質數, 則稱為階乘質數, 目前有 n!-1 有 27 個, n!+1 有 22 個
其他的階乘數有些被全部分解或部分分解, n <= 10000 的列表, n!-1, p=[1,2.1e10] 與 n!+1, p=[1,2.1e10] (n= [10001, 50000], 列表已上線) (n= [50001, 50000000], 列表已整理未上線) (n >= 50000001, 未計算, 計畫中)
目前階乘數的分解有以下規律:
a. 依照威爾遜定理 (Wilson's Theorem), p=n+1 若是質數, 則 n! ≡ -1 (mod p)
b. 另, p=n+2 若是質數, 則 n! ≡ 1 (mod p)
c. 另, p=n+3 若是質數, 則 n! ≡ -(n+4)/2 (mod p),
c-1. 若 -(n+4)/2 ≡ 1 (mod p), n ≡ -6 (mod p)
c-2. 若 -(n+4)/2 ≡ -1 (mod p), n ≡ -2 (mod p)
d. 若 2.n+1 是質數, n 為奇數, 則 n! ≡ ± 1 (mod 2.n+1)
e. 若 p 是質數, 且 n! ≡ ± 1 (mod p), 則 (p-n-1)! ≡ ± 1 (mod p), 稱為p-n共軛對, p 與 n 的相對關係如下 (Holmes' Rule):
e-1. n 為偶數, 且 n! ≡ 1 (mod p), 則 (p-n-1)! ≡ -1 (mod p)
e-2. n 為偶數, 且 n! ≡ -1 (mod p), 則 (p-n-1)! ≡ 1 (mod p)
e-3. n 為奇數, 且 n! ≡ 1 (mod p), 則 (p-n-1)! ≡ 1 (mod p)
e-4. n 為奇數, 且 n! ≡ -1 (mod p), 則 (p-n-1)! ≡ -1 (mod p)
f. 依 Proth's Test, 令 p = n!±1, 若有 a, a > n, a 是質數, 且 a^((p-1)/2) ≡ -1 (mod p), 則 p 為質數
g. 若 p = n!±1 為質數, 則 p±1 ~ p ± n 皆非質數, 且 p ± k.n 也非質數, 其他需檢驗
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4. 質乘質數 (Primorial Primes)
定義質乘數: F(n)= n# ± 1, n >= 0 的整數, n#=Πi, i 是質數且 i <= n, 例如 2#= 2 , 3# = 2.3 , 4# = 2.3 , 5# = 2.3.5; 若 F(n) 是質數, 則稱為質乘質數, 目前 n#-1 有 21 個, n#+1 有 22 個; 相關列表, 會整理後列出.
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5. Repunit 質數 (Repeated Unit Primes)
定義 Repunit 數: F(n)= (10^n-1)/(10-1), n >= 0 的整數, 若 F(n) 是質數, 則稱為 Repunit 質數; 相關列表, 會整理後列出.
另外, 定義 b-based Repunit 數: R(n,b)= (b^n-1)/(b-1), n >= 0 的整數, 且 b != [0,1] 的整數, 若 R(n,b) 是質數, 則稱為 b-based Repunit質數; 相關列表, 會整理後列出.
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6. b^n+1 質數 (b-radix Primes)
定義 10-radix 數: F(n)= 10^n+1, n >= 0 的整數, 若 F(n) 是質數, 則稱為 10-radix 質數; 相關列表, 會整理後列出.
定義 b-radix 數: K(n,b)= b^n+1, n >= 0 的整數, 且 b != 0 的整數, 若 K(n,b) 是質數, 則稱為 b-radix 質數; 相關列表, 會整理後列出.
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有機會在新增其他類型!
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